Материалы для коллег

I. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОТБОРА ОЛИМПИЙЦЕВ

1. Гонки.
2. Взвешивания.
3. Обращение времени.
4. Ступеньки.
5. Подобие.
6. Переправы.
7. Логика:
а) физическая;
б) нефизическая.

1. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат - 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня? (1)

2. Юноша и девушка участвуют в забеге на 100 м. К тому моменту, когда девушка пересекает линию финиша, юноша успевает пробежать 95 м, и девушка выигрывает забег с преимуществом в 5 м. В другом забеге на ту же дистанцию девушка, чтобы уравнять шансы, берет старт в 5 м позади стартовой черты. Кто выиграет второй забег, если оба спортсмена бегут с такой же скоростью, как и в первом забеге? (1)

3. Если некий человек идет пешком на работу, а обратно едет на транспорте, то всего на дорогу он затрачивает полтора часа. Если же в оба конца он едет на транспорте, то весь путь занимает у него 30 мин. Сколько времени затратит человек на дорогу, если и на работу и обратно пойдет пешком? (1)

4. Первый автомобиль едет со скоростью 60 км /ч. С какой скоростью должен ехать второй автомобиль, чтобы проходить каждый километр на 2 мин быстрее? (1)

5. Имеется 8 совершенно одинаковых по размеру и виду шаров. Однако в одном из них сделана небольшая полость. Пользуясь только весами, необходимо определить, какой шар с полостью. Какое наименьшее число взвешиваний потребуется для этого? (2)

6. В мешке содержится 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов с гирями в 50 г и 200 г (по одной штуке) распределить всю крупу по двум пакетам: в один - 2 кг, в другой - 7 кг? При этом разрешается произвести только три взвешивания. (2)

7. Бактерии размножаются делением пополам со скоростью 1 деление в минуту. Если посадить в сосуд с питательной смесью 1 бактерию, то через час он заполнится бактериями. Через какое время была заполнена половина сосуда? А через какое время заполнился бы сосуд, если бы в начале в нем было две бактерии? (3)

8. В соревнованиях по теннису участвуют 47 игроков. Каждый теннисист выбывает из турнира после первого поражения. Сколько следует провести встреч, чтобы выявить победителя? (3)

9. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе? (4)

10. Два друга стояли внизу около эскалатора метро. Им хотелось сосчитать количество ступенек эскалатора, находящихся между входом и выходом с него. Однако вести счет движущимся ступенькам оказалось не так просто, и вскоре друзья запутались. Тогда они решили применить гораздо более надежный метод. Они одновременно ступили на эскалатор, причем в то время, как один делал два шага, другой делал один шаг (через ступеньки никто из них не перескакивал). Чтобы дойти до верхнего конца эскалатора, тому из друзей, который шагал быстрее, пришлось сделать 28 шагов, другой же сделал всего 21 шаг. Сколько ступенек в эскалаторе (снизу доверху)? (4)

11. После семи стирок кусок мыла уменьшился вдвое, то есть вдвое уменьшились его длина, ширина и высота. На сколько еще стирок его хватит? (5)

12. Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м? (5)

13. Игрушечное ведерко имеет такую же форму, как настоящее ведро, однако высота игрушечного ведерка в 4 раза меньше. Сколько игрушечных ведерок потребуется вылить в настоящее ведро, чтобы наполнить его? (5)

14. Барон Мюнхгаузен и его слуга Томас подошли к реке. На берегу они обнаружили лодку, способную перевезти лишь одного человека. Тем не менее они переправились через реку и продолжили путешествие. Могло ли так быть? (6)

15. В лодке, вмещающей только двух человек, через реку должны переправиться три миссионера и три каннибала. Миссионеры боятся остаться в меньшинстве. Только один миссионер и одни каннибал умеют грести. Помогите им переправиться. (6)

16. Бикфордов шнур горит неравномерно, а сгорает ровно за 1 минуту. Можно ли при помощи двух таких шнуров отмерить, ровно 45 секунд? (7а)

17. Студент, институт которого находится рядом со станцией кольцевой линии метрополитена, живет у станции метро, также находящейся на кольцевой линии, но в противоположном конце города, так что ему безразлично, в какую сторону ехать. Поэтому он всегда садится в тот поезд, который пойдет первым. Количество поездов, идущих как в одну, так и в другую сторону, одинаково. Студент, однако, заметил, что он чаще ездит на поезде, идущем по часовой стрелке. Чем это можно объяснить? (7)

18. В одной комнате находится три выключателя, а в другой - три лампочки. Каждый выключатель обслуживает одну из лампочек. Как узнать, какой выключатель связан с какой лампочкой, если в комнату с лампочками можно войти лишь один раз? (7а)

19. В колесе 10 спиц. Сколько промежутков между спицами? (7а)

20. Говорят, что в девятнадцатом веке каждый десятый мужчина на Руси был Иван, а каждый двадцатый - Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей? (7а)

21. Как из 6 спичек построить 4 треугольника со стороной, равной 1 спичке, - четыре равносторонних треугольника? (7а)

22. Беспризорник умеет из трех окурков делать одну папиросу. В одной из урн он отыскал 12 окурков. Сколько папирос ему удалось выкурить? (7а)

23. Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: поесть или поспать, чтобы остаться в живых? (7б)

24. Ковбой вошел в бар и попросил воды. Вместо ответа хозяин выхватил кольт и выстрелил в потолок. Ковбой поблагодарил и вышел. В чем дело? (7б)

25. Юноша шел по дороге и заметил валявшийся на обочине моток колючей проволоки. Он побежал домой, взял кусачки, вернулся к проволоке и одну за другой откусил все колючки. Затем он бросил проволоку и колючки там, где стоял, и продолжил свой путь, как ни в чем не бывало. В чем дело? (7б)

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ находятся здесь