Материалы для коллег

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

1. Через 15 минут. На весь путь от дома до школы я трачу на 10 минут меньше брата. Значит, на половину пути я потрачу на 5 минут меньше. Мы встретимся ровно на половине пути от дома до школы.

2. Девушка. Пробежав во втором забеге 100 метров, девушка догонит юношу и на последних пяти метрах обгонит его. (Подсказка для учащихся: где девушка догонит юношу?)

3. 2,5 часа. Если человек дважды проделает путь на работу и обратно первым способом, то при этом он два раза проедет расстояние между домом и работой на транспорте и дважды пройдет его пешком, затратив на все 3 часа. Следовательно, он может пешком добраться до работы и вернуться назад за 3 - 0,5 = 2,5 часа.

4. Это невозможно. 60 км/ч = 1 км/мин.

5. Два. Поместим на каждую чашу весов по три шара. Если весы останутся в равновесии, значит, шар с полостью находится среди оставшихся двух. Поместив один из них на одну чашу весов, а другой - на другую, легко установить, какой из них с полостью. Если же шар с полостью находится среди трех шаров, что были положены на весы вначале, тогда один из них следует отложить, а каждый из оставшихся двух шаров поместить на чаши весов. Если весы останутся в равновесии, в этом случае можно будет утверждать, что отложенный шар с полостью.

6. Достаточно одной гири в 200 г. При первом взвешивании кладем на чашку весов
гирю в 200 г и высыпаем всю крупу на чашки весов так, чтобы весы были уравновешены. Тогда на одной чашке будет 4 кг 400 г, на другой - 4 кг 600 г крупы. При втором взвешивании аналогично рассыпаем 4 кг 600 г, получаем 2 кг 400 г и 2 кг 200 г. При третьем взвешивании от 2 кг 200 г отвешиваем 200 г.

7. 59 мин. За одну минуту до окончательного заполнения сосуда он будет заполнен бактериями наполовину. (Подсказка для учащихся: попробуйте решить задачу "обратным ходом")

8. 46 встреч. После каждой встречи выбывает один из игроков. Поскольку в итоге вы- бывает 46 теннисистов, то всего следует провести 46 встреч.

9. 100 ступенек. Пусть n - искомое число ступенек на неподвижном эскалаторе, v - скорость человека относительно ступенек в первый раз, u - скорость "исчезновения" ступенек под эскалатором. Тогда в первом случае 50/v = (n – 50)/u ; во втором случае -75/3v = (n –75)/u. Решив полученную систему уравнений, получим n = 100.

10. 42 ступеньки. По аналогии с решением предыдущей задачи составляем систему уравнений: 28/2v = (n – 28)/u; 21/v = (n –21)/u. Решив эту систему, получим n = 42.

11. На одну. При уменьшении вдвое длины, ширины и высоты куска мыла его объем уменьшится в 8 раз. Значит, за 7 дней "исчезнет" 7/8 объема мыла и останется 1/8 его объема.

12. В 8 раз. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобно, то при вдвое большем росте человек имеет в 8 раз больший объем.

13. 64. (Подсказка для учащихся: разобрать решения предыдущих задач). 4³ = 64.

14. Да. Они подошли с разных сторон.

15. Обозначим миссионеров буквами М, м, м, каннибалов - К, к, к, причем большими буквами М и К обозначим миссионера и каннибала, умеющих грести. Сначала К перево зит (по очереди) к и к; затем плывут М, м, М, к возвращаются; плывут М, К возвращаются М, к; переправляются М, м; возвращается К; наконец, К переправляет (по очереди) к и к.

16. Можно. Подожжем один из шнуров с обоих концов и одновременно второй - с одного конца. Первый шнур сгорит через 30 секунд; в этот момент подожжем второй шнур со второго конца.

17. Это возможно,если промежуток времени между отправлением поезда, идущего по часовой стрелке, и ближайшим поездом против часовой стрелки больше промежутка времени между отправлением поезда, идущего против часовой стрелки, и ближайшим поездом, идущим по часовой стрелке. (Подсказка для учащихся: попробуйте составить возможные расписания поездов, например, поезда, идущие против часовой стрелки, приходят в 8.00, 8.10, 8.20, и т.д., а по часовой стрелке - в 8.02, 8.12, 8.22, 8.32 и т.д.).

18. Нужно включить один выключатель, подождать некоторое время, затем его выключить и включить второй, после этого пойти в комнату с лампочками. Горящая лампочка связана со вторым выключателем, а из потушенных горячая связана с первым, а холодная - с третьим выключателем.

19. Десять. (Подсказка для учащихся: рассмотрите случай с тремя спицами; затем - с четырьмя и т. д.).

20. Одинаково. Согласно условию задачи число Иванов на Руси составляло 1/10 часть всех мужчин. Их отцы тоже составляют 1/10 всех мужчин, потому что у каждого Ивана один отец. Сколько же среди этих отцов насчитывается Петров? Согласно условию Петром назывался каждый двадцатый мужчина, значит, среди мужчин, сыновья которых называются Иванами, насчитывается 1/20 Петров. Итак, от 1/20*1/10 = 1/200. Если таким же образом выяснить, какую часть мужского населения составят Петры Ивановичи, то получим 1/10*1/20, т.е. то же число.

21. Построить тетраэдр. (Подсказка для учащихся: попробуйте "выйти в пространство".)

22. 6 штук. В самом деле: беспризорник изготавливает 5 папирос, и у него остается еще 2 окурка. Он берет взаймы один окурок (у такого же бедолаги, например), делает шестую папиросу и, выкурив ее, возвращает долг.

23. Человек не может одновременно и спать и есть. Поэтому срок в семь суток после сна и после еды наступает в разное время. Человек должен сделать то, что неделю назад он делал раньше: спал и ел.

24. У ковбоя в горле застряла кость и от испуга выскочила.

25. Он гадал: "любит - не любит..."