Задачи из ДЕМОВАРИАНТОВ (с решениями)
1. Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, за время τ = 1 с после начала движения проходит путь в n = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найдите полное время движения. Образец возможного решения
2. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем движется вниз. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту. Образец возможного решения
3. Грузы массами M = 1 кг и m связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Груз массой M находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения μ = 0,3). Чему равно максимальное значение массы m, при котором система грузов ещё не выходит из первоначального состояния покоя? Решение поясните схематичным рисунком с указанием используемых сил. Образец возможного решения
4. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли ТM/ТЗ, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте? Образец возможного решения
5. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и 5h/2 (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной u. Найдите отношение масс шайбы и горки. Образец возможного решения
6. Шайба массой m начинает движение по желобу AB из точки А из состояния покоя. Точка А расположена выше точки В на высоте H = 6 м. В процессе движения по желобу механическая энергия шайбы из-за трения уменьшается на ΔE = 2 Дж. В точке В шайба вылетает из желоба под углом α = 15° к горизонту и падает на землю в точке D, находящейся на одной горизонтали с точкой В (см. рисунок). BD = 4 м. Найдите массу шайбы m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Образец возможного решения
7. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем движется по «мертвой петле» радиуса R. С какой силой шарик давит на желоб в нижней точке петли, если масса шарика равна 100 г, а высота, с которой его отпускают, равна 4R? Образец возможного решения
8. Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом R. Если в точке А скорость шайбы превосходит υ0 = 4 м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости АВ = L = 1 м, угол α = 30°. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой μ = 0,2. Найдите внешний радиус трубы R. Образец возможного решения
9. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны vпл = 15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом μ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на 30%? Образец возможного решения
10. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m находится в точке А на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу m, если М = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы. Образец возможного решения
11. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол 60o и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите изменение скорости пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол 39o. (Массу шара считать неизменной, диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити, cos 39° = 7/9.) Образец возможного решения
12. Два тела, массы которых соответственно m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, скользят по гладкому горизонтальному столу (см. рисунок). Скорость первого тела υ1 = 3 м/с, скорость второго тела υ2 = 6 м/с. Какое количество теплоты выделится, когда они столкнутся и будут двигаться дальше, сцепившись вместе? Вращения в системе не возникает. Действием внешних сил пренебречь. Образец возможного решения
13. Маленький шарик массой m = 0,3 кг подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной l = 0,9 м, которая разрывается при силе натяжения T0 = 6 Н. Шарик отведён от положения равновесия (оно показано на рисунке пунктиром) и отпущен. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается, и шарик тут же абсолютно неупруго сталкивается с бруском массой M = 1,5 кг, лежащим неподвижно на гладкой горизонтальной поверхности стола. Какова скорость u бруска после удара? Считать, что брусок после удара движется поступательно. Образец возможного решения
	14. На рисунке представлена фотография установки по исследованию скольжения каретки (1) массой 40 г по наклонной плоскости под углом 30°. В момент начала движения верхний датчик (2) включает секундомер (3). При прохождения кареткой нижнего датчика (4) секундомер выключается. Оцените количество теплоты, которое выделилось при скольжении каретки по наклонной плоскости между датчиками. Образец возможного решения
15. Однородный тонкий стержень массой m = 1 кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол α = 30°. Под действием горизонтальной силы F доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок). Стержень при этом неподвижен. Найдите F, если коэффициент трения стержня по доске μ = 0,2. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь. Образец возможного решения
16. Деревянный шар привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с площадью дна S =100 см2. В сосуд наливают воду так, что шар полностью погружается в жидкость, при этом нить натягивается и действует на шар с силой T. Если нить перерезать, то шар всплывёт, а уровень воды изменится на h = 5 см. Найдите силу натяжения нити T. Образец возможного решения
17. На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, имеющих плотности ρ1 = 900 кг/м3 и ρ2 = 3ρ1, плавает шарик (см. рисунок). Какой должна быть плотность шарика ρ, чтобы выше границы раздела жидкостей была одна треть его объёма? Образец возможного решения
Избранные задачи прошлых лет (с ответами)
18. В безветренную погоду самолёт затрачивает на перелёт между городами 6 часов. Если во время полёта дует боковой ветер перпендикулярно линии полёта, то самолёт затрачивает на перелёт на 9 минут больше. Найдите скорость ветра, если скорость самолёта относительно воздуха постоянная и равна 328 км/ч.
19. В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь, в n = 2 раза больший, чем в предыдущую.  Найдите полное время падения t, если начальная скорость равна нулю.
20. Под каким углом к горизонту надо бросить мяч, чтобы он перелетел через забор высотой h = 4 м, коснувшись его в верхней точке своей траектории, если мяч бросают с уровня h0 = 0,8 м над землей с расстояния S = 6,4 м от забора? Сопротивлением воздуха пренебречь.
21. Мяч бросают горизонтально с высоты 1,25 м по направлению к вертикальной стене, находящейся на расстоянии 2,5 м от точки бросания. Какова должна быть начальная скорость мяча, чтобы после упругого удара о стену он приземлился под точкой бросания (см. рисунок)?
22. С высоты H = 30 м свободно падает стальной шарик. Через t = 2 с после начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом α = 30° к горизонту. На какую высоту h от поверхности земли поднимется шарик после удара? Удар шарика о плиту считать абсолютно упругим.
23. С края каменистого обрыва, расположенного на высоте h = 20 м над уровнем Земли, падает камень. Через 1 с падения камень упруго ударяется о плоский участок выступающей гранитной плиты, расположенной к горизонту под углом 30°, и далее летит в свободном полете. На каком расстоянии от вертикали, вдоль которой начинал падать камень, он упадет на Землю? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
24. Прибор наблюдения обнаружил летящий снаряд и зафиксировал его горизонтальную координату х1 и высоту h1 = 1655 м над Землёй (см. рисунок). Через 3 с снаряд упал на Землю и взорвался на расстоянии l = 1700 м от места его обнаружения. Известно, что снаряды данного типа вылетают из ствола пушки со скоростью 800 м/с. На каком расстоянии от точки взрыва снаряда находилась пушка, если считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали.
25. Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой AB. Угол между плоскостями α = 30°. Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки A с начальной скоростью υ0 = 2 м/с под углом β = 60° к прямой AB. В ходе движения шайба съезжает на прямую AB в точке B. Пренебрегая трением между шайбой и наклонной плоскостью, найдите расстояние AB.
26. Стартуя из точки А (см. рисунок), спортсмен движется равноускоренно до точки В, после которой модуль скорости спортсмена остаётся постоянным вплоть до точки С. Во сколько раз время, затраченное спортсменом на участок ВС, больше, чем на участок АВ, если модуль ускорения на обоих участках одинаков? Траектория ВС – полуокружность.
27. Грузовой автомобиль массой М = 4 т тянет за нерастяжимый трос вверх по уклону легковой автомобиль, масса которого m = 1 т. Двигатель легкового автомобиля выключен. С каким максимальным ускорением могут двигаться автомобили, если угол уклона составляет α = arcsin 0,1, а коэффициент трения между шинами грузового автомобиля и дорогой μ = 0,2? Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль пренебречь.
28. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени горизонтальная сила тяги F = bt, где b – постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения.
29. На горизонтальном столе лежит деревянный брусок. Коэффициент трения между поверхностью стола и бруском µ = 0,1. Если приложить к бруску силу, направленную вверх под углом α = 45° к горизонту, то брусок будет двигаться по столу равномерно. С каким ускорением будет двигаться этот брусок по столу, если приложить к нему такую же по модулю силу, направленную под углом β = 30° к горизонту?
30. После того, как брусок толкнули, он движется вверх по наклонной плоскости, а затем начинает соскальзывать вниз. При каких значениях коэффициента трения между бруском и наклонной плоскостью это возможно, если угол наклона плоскости к горизонту α = 30°?
31. Ученик исследовал движение бруска по наклонной плоскости. При помощи электронного секундомера он провёл пять опытов, измеряя время движения бруска из состояния покоя на одном и том же участке наклонной плоскости. Результаты опытов приведены в таблице. Опыт 1 2 3 4 5 t, c 0,470 0,468 0,483 0,481 0,475 Угол между наклонной плоскостью и лабораторным столом составлял 30°. Расстояние, которое проходил брусок в каждом опыте, равно 400 мм. Определите примерное значение коэффициента трения между бруском и наклонной плоскостью. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок.
32. Брусок массой m1 = 1 кг лежит на наклонной плоскости с углом при основании, равным α = 53°. Коэффициент трения бруска с плоскостью равен μ = 0,5. К бруску привязана невесомая нить, другой конец которой перекинут через неподвижный идеальный блок. К этому концу нити подвешивается груз массой m2 = 1 кг. Определите, придёт ли в движение брусок при подвешивании груза. Если придёт в движение, то в каком направлении? (sin53° = 0,8; cos53° = 0,6)
33. В изображенной на рисунке системе нижний брусок может двигаться по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30°, а верхний брусок – вдоль наклонной плоскости, составляющей с горизонтом некоторый угол β. Коэффициент трения между нижним бруском и плоскостью равен μ = 0,2, трение между верхним бруском и наклонной плоскостью отсутствует. Считая соединяющую бруски нить очень легкой и нерастяжимой, и пренебрегая массой блока и трением в его оси найдите, при каких значениях угла β нить будет натянута.
34. На наклонной плоскости находится брусок, связанный с грузом перекинутой через блок невесомой нерастяжимой нитью (см. рисунок). Угол наклона α плоскости равен 30°; масса бруска 2 кг, коэффициент трения бруска о плоскость равна 0,23, масса груза 0,2 кг. В начальный момент времени брусок покоился на расстоянии 5 м от точки А у основания плоскости. Определите расстояние от бруска до точки А через 2 с.
35. Система грузов М, m1 и m2, показанная на рисунке, движется из состояния покоя. Поверхность стола – горизонтальная гладкая. Коэффициент трения между грузами М и m1 равен μ = 0,2. Грузы М и m2 связаны лёгкой нерастяжимой нитью, которая скользит по блоку без трения. Пусть М = 1,2 кг, m1 = m2 = m. При каких значениях m грузы М и m1 движутся как одно целое?
36. В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 3 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2 кг он движется вниз с ускорением a = 1 м/с2. Чему равен коэффициент трения μ между грузом массой m и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.
37. К нижнему концу легкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m1 = 0,2 кг и нижний массой m2 = 0,1 кг. Нить, соединяющую грузы, пережигают. С каким ускорением и в каком направлении начнет двигаться верхний груз?
38. На шероховатом горизонтальном диске, вращающемся вокруг вертикальной оси, покоится небольшое тело. Расстояние от оси вращения до тела r = 25 см. Угловую скорость вращения начали медленно увеличивать. Каков коэффициент трения μ между телом и диском, если тело начало скользить по диску при угловой скорости ω = 4,5 рад/с?
39. Грузики с точечными массами m1 = 0,25 кг и m2= 0,5 кг прикреплены к невесомому стержню длиной l = 1 м (см. рисунок). Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. В нижней точке траектории грузик массой m2 имеет скорость υ = 2 м/с. Определите силу, с которой стержень действует на грузик m1 в этот момент.
40. На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m1 = 200 г и m2 = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.
41. Шарик массой m = 200 г подвешен к потолку на лёгкой нерастяжимой нити длиной L = 1,5 м. Шарик привели в движение так, что он движется по окружности в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник (см. рисунок). Модуль силы натяжения нити Т = 2,7 Н. Чему равен период τ, за который шарик делает один оборот по окружности?
42. Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен μ. При каком максимальном расстоянии L от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
43. Определите отношение веса тела на экваторе планеты к весу этого тела на ее полюсе, если плотность вещества планеты ρ = 5200 кг/м3, а период ее вращения вокруг собственной оси равен T = 3⋅104 с. Планету считать однородным шаром.
44. Звезда и массивная планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите радиус орбиты планеты r, если известно, что масса планеты равна m, а скорость движения звезды и радиус ее орбиты равны υ и R соответственно.
45. Радиус планеты Плюк в 2 раза больше радиуса Земли, а средние плотности Плюка и Земли равны. Найдите отношение периода обращения спутника, движущегося вокруг Плюка по низкой орбите, к периоду обращения аналогичного спутника для Земли. Объем шара пропорционален кубу радиуса этого шара (V ~ R3).
46. Тело массой 100 г, свободно падающее на землю с некоторой высоты без начальной скорости, за первую секунду падения проходит путь, в 4 раза меньший, чем за последнюю секунду падения. Каков импульс тела в конце падения? Силой сопротивления движению пренебречь.
47. На космическом аппарате, находящемся вдали от Земли, начал работать реактивный двигатель. Из сопла ракеты ежесекундно выбрасывается 2 кг газа (Δm/Δt = 2 кг/с) со скоростью υ = 500 м/с. Исходная масса аппарата М = 500 кг. Какой будет скорость аппарата через t = 6 c после старта? Начальную скорость аппарата принять равной нулю. Изменением массы аппарата за время движения пренебречь.
48. На озере два рыбака сидят в покоящейся лодке, масса которой М = 100 кг и длина L = 6 м: один - на носу, а второй - на корме. Их массы равны соответственно m1 = 60 кг и m2 = 80 кг. Насколько сместится лодка относительно берега озера, если второй рыбак перейдёт к первому? (Трением пренебречь.)
49. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна υ0 = 10 м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два осколка, массы которых относятся как 2 : 1. Осколок большей массы упал на землю первым со скоростью υ1 = 2υ0. До какой максимальной высоты поднялся осколок меньшей массы?
50. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна 500 м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два осколка. Первый упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в 2 раза больше начальной скорости снаряда, а второй в этом же месте – через 100 с после разрыва. Чему равно отношение массы первого осколка к массе второго осколка? Сопротивлением воздуха пренебречь.
51. Снаряд массой 4 кг разорвался в полете на две равные части, одна из которых продолжила движение по направлению движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счет энергии взрыва на величину 0,5 МДж. Модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда, равен 900 м/с. Найдите скорость снаряда перед разрывом.
52. На гладкой горизонтальной плоскости находится длинная доска массой М = 2 кг. По доске скользит шайба массой m = 0,5 кг. Коэффициент трения между шайбой и доской μ = 0,2. В начальный момент времени скорость шайбы υ0 = 2 м/с, а доска покоится. Сколько времени потребуется для того, чтобы шайба перестала скользить по доске?
53. Два шарика, массы которых m1 = 200 г и m2 = 600 г, висят, соприкасаясь, на одинаковых нитях длиной l = 80 см. Первый шар отклонили на угол 90° и отпустили. На какую высоту поднимутся шарики после удара, если этот удар абсолютно неупругий?
54. Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной поверхности с высоты h = 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 300 г. Считая столкновение абсолютно неупругим, определите изменение кинетической энергии первого бруска в результате столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.
55. Брусок массой m1 = 600 г, движущийся со скоростью υ = 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 200 г. Какова скорость первого бруска после столкновения? Удар считать центральным и абсолютно упругим.
56. Два шарика, массы которых отличаются в 3 раза, висят, соприкасаясь, на вертикальных нитях (см. рисунок). Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают без начальной скорости. Каким будет отношение кинетических энергий тяжёлого и лёгкого шариков тотчас после их абсолютно упругого центрального удара?
57. Пробирка массой 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой и подвешена в горизонтальном положении к штанге на нерастяжимых нитях. Расстояние от центра масс пробирки до штанги L = 20 см. При нагревании пробирки пробка вылетает из нее со скоростью 4 м/с. Какова масса пробки, если нити отклонились от вертикали на максимальный угол 60°? 58. Пробирка массой 40 г, содержащая пары эфира, закрыта пробкой массой 10 г и подвешена в горизонтальном положении к штанге на нерастяжимых нитях. При нагревании пробирки пробка вылетает из нее со скоростью 4 м/с, а нить обрывается. Найдите максимально возможное в этих условиях расстояние L от центра масс пробирки до штанги, если нити выдерживают суммарную нагрузку не более 0,6 Н.
59. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска M, коэффициент трения между бруском и поверхностью μ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
60. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей перпендикулярно оси закреплённой цилиндрической трубы. Грузы находятся на горизонтальной прямой, пересекающей ось трубы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности трубы в её верхней точке А. Найдите массу М, если m = 100 г. Размеры грузов ничтожно малы по сравнению с радиусом трубы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.
61. Небольшие шарики, массы которых m и M, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку радиусом R = 20 см. В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Минимальная высота, на которой оказался шарик m в процессе движения, равна 4 см от нижней точки выемки. Определите отношение масс M и m.
62. Шарик скользит без трения по наклонному желобу, а затем движется по «мертвой петле» радиуса R. С какой силой шарик давит на желоб в нижней  точке петли, если масса шарика равна 100 г, а высота, с которой его отпускают, равна 4R?
63. Небольшая шайба после толчка приобретает скорость υ = 2 м/с и скользит по внутренней поверхности гладкого закрепленного кольца радиусом R = 0,14 м. На какой высоте h шайба отрывается от кольца и начинает свободно падать?
64. Небольшой кубик массой m = 1 кг начинает скользить с нулевой начальной скоростью по гладкой горке, переходящей в «мёртвую петлю» радиусом R = 2 м (см. рисунок). С какой высоты Н был отпущен кубик, если на высоте h = 2,5 м от нижней точки петли сила давления кубика на стенку петли F = 5 Н? Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
65. Пуля летит горизонтально со скоростью υ0 = 400 м/с , попадает в лежащий на горизонтальной поверхности льда брусок и отскакивает в обратном направлении со скоростью υ0/8. Масса бруска в 90 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом μ = 0,1. На какое расстояние s переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 20%?
66. В тело массой 4,8 кг, лежащее на гладком участке горизонтальной поверхности, попадает снаряд массой 0,2 кг, летящий под углом 60° к горизонту со скоростью 40 м/с, и застревает в нем. Попав на шероховатую часть поверхности, тело проходит до остановки путь, равный 12 см. Определите коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью.
67. На краю стола высотой h = 1 м лежит пластилиновый шарик массой m = 50 г. На него со стороны стола налетает по горизонтали другой пластилиновый шарик, имеющий массу M = 100 г. Какой должна быть скорость второго шарика, чтобы точка приземления шариков на пол была дальше от стола, чем заданное расстояние L = 0,3 м? (Удар считать центральным.)
68. Маленькая шайба движется по гладкому трамплину из состояния покоя с высоты H над поверхностью земли. На высоте h = 1 м шайба отрывается от трамплина, причём в этот момент скорость шайбы направлена горизонтально (см. рисунок). При каких значениях H шайба упадёт в канаву, вырытую перед трамплином, если ширина канавы d = 1 м, а ближний край канавы находится на расстоянии l = 3 м от стенки трамплина? Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что шайба не может закатиться в канаву, если не упала в нее сразу.
69. При выполнении трюка «Летающий велосипедист» гонщик движется по трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты Н (см. рис.). На краю трамплина скорость гонщика направлена под таким углом к горизонту, что дальность его полета максимальна. Пролетев по воздуху, гонщик приземляется на горизонтальный стол, находящийся на той же высоте, что и край трамплина. Какова высота полета h на этом трамплине? Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
70. Лыжник массой 60 кг прыгает с трамплина высотой Н. На рисунке показана траектория полёта лыжника; параметры этой траектории: АВ = 10 м, ВС = 5 м. Модуль работы силы трения лыжника о снег при спуске равен 1,2 кДж. Определите высоту Н трамплина.
71. Пушка, закрепленная на высоте 5 м, стреляет в горизонтальном направлении снарядами массы 10 кг. Вследствие отдачи ее ствол, имеющий массу 1000 кг, сжимает на 1 м пружину жесткости 6000 Н/м, производящую перезарядку пушки. Считая, что относительная доля η = 1/6 энергии отдачи идет на сжатие этой пружины, найдите дальность полета снаряда.
72. Пружинное ружьё наклонено под углом α = 30° к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой m = 50 г проходит по стволу ружья расстояние b, вылетает и падает на расстоянии L = 1 м от дула ружья в точку М, находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние b. Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.
73. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс m2/m1 = 1,5? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
74. От груза, неподвижно висящего на невесомой пружине жёсткостью k = 400 Н/м, отделился с начальной скоростью, равной нулю, его фрагмент, после чего оставшаяся часть груза поднялась на максимальную высоту h = 3 см относительно первоначального положения. Какова масса  отделившегося от груза фрагмента?
75. К одному концу лёгкой пружины жёсткостью k = 100 Н/м прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости μ = 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.
76. Изогнутая жесткая трубка укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). В трубке на расстоянии H от стола удерживают шарик, который может скользить по трубке без трения. Все тела покоятся. Шарик отпускают. В результате платформа движется поступательно, не отрываясь от стола, и после вылета шарика из трубки со скоростью υ приобретает скорость υ/5. На каком расстоянии h от стола находится левый горизонтальный конец трубки?
77. Горка с двумя вершинами, высоты которых h и 3h, покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). На правой вершине горки находится монета, масса которой в 12 раз меньше массы горки. От незначительного толчка монета и горка приходят в движение, причем монета движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Найдите скорость горки в тот момент, когда монета окажется на левой вершине горки.
78. Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью u0 под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени τ шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
79. К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 30 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня М? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
80. Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рисунок). Трение в шарнире пренебрежимо мало́. Масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°. Найдите модуль силы F, действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
81. Стальной шарик массой m = 780 г удерживается силой F = 28 Н с помощью стержня, один конец которого на шарнире прикреплен к стене (см. рисунок). Длина стержня L = 80 см, масса M = 400 г. Затем шарик опускают в сосуд с водой. Как следует изменить точку приложения силы F, чтобы стержень при этом остался в горизонтальном положении?
82. В гладкий стакан высотой h = 8 см и радиусом 3 см поставили однородную палочку длиной 12 см. Стакан доверху наполнили жидкостью, плотность которой в 5 раз меньше плотности материала палочки. Чему равна масса палочки, если она давит на край стакана с силой 465 мН ?
83. Шарик массой m = 0,1 кг на нити длиной L = 0,4 м раскачивают так, что каждый раз, когда шарик проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t = 0,01 с действует сила F = 0,1 Н, направленная по скорости. Через сколько полных колебаний шарик на нити отклонится на 60°?
84. На планете Плюк местный школьник решил определить ускорение свободного падения g. Он взял чашу с очень скользким сферическим дном радиусом R = 0,5 м и положил неподалеку от нижней точки О дна маленькую монету (см. рисунок). Монета стала совершать колебания около точки О с частотой 0,5 Гц. Какое значение g школьник должен получить, если правильно провёл измерения?
85. Ареометр, погруженный в жидкость, совершает малые вертикальные гармонические колебания с частотой ν = 0,2 Гц (см. рисунок). Площадь сечения трубки ареометра S = 10 мм2, его масса m = 50 г. Пренебрегая сопротивлением жидкости, найдите плотность жидкости.
86. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10-2 м2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м3 и 1000 кг/м3 (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний π /5 c.
87. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика? 88. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с частотой 2,5 Гц вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно минимальное значение отношения массы бруска к массе грузика?
89. Шарик массой m = 20 г подвешен на шелковой нити и помещен над положительно заряженной плоскостью, создающей однородное вертикальное электрическое поле напряженностью Е = 104 В/м. Шарик имеет положительный заряд q = 10-5 Кл. Период малых колебаний шарика Т = 1 с. Какова длина нити?
90. По гладкой горизонтальной направляющей длины 2l скользит бусинка с положительным зарядом Q > 0 и массой m. На концах направляющей находятся положительные заряды q > 0 (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен Т. Чему будет равен период колебаний бусинки, если ее заряд увеличить в 2 раза?
91. По гладкой горизонтальной направляющей скользит бусинка с отрицательным зарядом – q и массой m. На расстоянии l от направляющей находится шарик с положительным зарядом + Q (см. рисунок). Бусинка совершает малые гармонические колебания относительно положения равновесия, период которых равен Т. Заряды бусинки и шарика увеличили в 2 раза. Какой должна быть масса бусинки, чтобы период ее колебаний при этом остался прежним?
Ответы к избранным задачам прошлых лет